题目

如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．

（1）求证：∠DBE=∠DEB；
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．

提问时间：2021-04-19

答案

（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠EBC，∴∠DBE=∠DEB；（2）∵AD=8cm，DF：FA=1：3，∴DF=2，∵∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，∴∠DBC=∠B...

（1）E是△ABC的内心，AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠DBE=∠DEB；
（2）AD=8cm，DF：FA=1：3，易知DF=2，∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可以通过证明△DBF∽△DAB得出．

本题考点：三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形的外接圆与内心，同时考查了相似三角形的判定和性质．