题目

在1到2014的所有自然数中,有（ ）个整数x,使2的x平方和x的2平方被7除,且余数相同.

提问时间：2021-04-18

答案

先看2的X次方除以7的余数情况,
依次为2、4、1、2、4、1、2、4……,
每3个数为一个循环.
再看X的2次方除以7的余数情况,
显然7个数为一个循环,
依次为1、4、2、2、4、1、0.
这样,我们考虑21个数的循环,
2的X次方除以7的余数：2、4、1、2、4、1、2、4、1、2、4、1、2、4、1、2、4、1、2、4、1
X的2次方除以7的余数：1、4、2、2、4、1、0、1、4、2、2、4、1、0、1、4、2、2、4、1、0
对比可以看出,第2、4、5、6、10、15个数,2的X次方和X的2次方除以7的余数相同.
即,每21个数的一个循环中,有6个数符合要求.
2014÷21=95……19
而一个循环中前19个数又有6个符合要求
所以,符合要求的总数为 6*95+6=576（个）
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