题目

如图，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一点P，PC=24，点P到直线AC、BC的距离PD和PE都等于6

10

，求：

（1）点P到平面ABC的距离PF；
（2）PC与平面ABC所成的角．

提问时间：2021-04-18

答案

（1）作PE，PD分别垂直于BC，BA，设PF垂直面ABC于F，
连接EF，FD，FC，
∵EP⊥CE，PF⊥CE，
∴CE⊥面PEF，∴CE⊥EF
同理，CD⊥DF
∵∠C是直角，
∴四边形ECDF是矩形
∴EC=DF
Rt△PEC中，PE=6

10

，PC=24，∴EC=

242−(6 10 )2

=6

6

Rt△PDF中，PF=

(6 10 )2−(6 6 )2

=12
（2）由题意，PF垂直面ABC于F，∠PCF为直线PC与面ABC所成的角．
∵sin∠PCF=

PF

PC

=

1

2

，∴∠PCF=30°
即直线PC与面ABC所成的角为30°

（1）连接EF，FD，FC，证明四边形ECDF是矩形，可得结论；
（2）由题意，∠PCF为直线PC与面ABC所成的角，即可求出结论．

本题考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．

考点点评：本题考查空间距离与角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．