题目

己知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

提问时间：2021-04-17

答案

（Ⅰ）由f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可得：a=1，b=2，
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+1
=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴当x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，为

2

+1；
当x=

5π

8

+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值，为-

2

+1；
（Ⅱ）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
则-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．

（Ⅰ）由f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，从而可求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即可求得其单调增区间．

本题考点：正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查分析与应用能力，属于中档题．