题目

错排公式是什么

提问时间：2021-04-16

答案

递推的方法推导错排公式　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-2个元素,有M(n-1)种方法;
　　综上得到
　　M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
　　特殊地,M(1)=0,M(2)=1
　　下面通过这个递推关系推导通项公式:
　　为方便起见,设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)
　　则N(1)=0,N(2)=1/2
　　n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
　　即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
　　因此
　　N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
　　相加,可得
　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
　　因此
　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
　　可以得到
　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)