题目

如果项数均为n（n≥2，n∈N⁺）的两个数列{a_n}，{b_n}满足a_k-b_k=k（1，2，…，n），且集合{a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n}={1，2，3，…，2n}，则称数列{a_n}，{b_n}是一对“n项相关数列”．
（Ⅰ）设{a_n}，{b_n}是一对“4项相关数列”，求a₁+a₂+a₃+a₄和b₁+b₂+b₃+b₄的值，并写出一对“4项相关数列”{a_n}，{b_n}；
（Ⅱ）是否存在“15项相关数列”{a_n}，{b_n}？若存在，试写出一对{a_n}，{b_n}；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对．

提问时间：2021-04-16

答案

（Ⅰ）依题意，a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，a₃-b₃=3，a₄-b₄=4，相加得，
a₁+a₂+a₃+a₄-（b₁+b₂+b₃+b₄）=10，又a₁+a₂+a₃+a₄+b₁+b₂+b₃+b₄=36，
则a₁+a₂+a₃+a₄=23，b₁+b₂+b₃+b₄=13．
“4项相关数列”{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1（不唯一）
（“4项相关数列”共6对：{a_n}：8，5，4，6；{b_n}：7，3，1，2
或{a_n}：7，3，5，8；{b_n}：6，1，2，4
或{a_n}：3，8，7，5；{b_n}：2，6，4，1
或{a_n}：2，7，6，8；{b_n}：1，5，3，4
或{a_n}：2，6，8，7；{b_n}：1，4，5，3
或{a_n}：8，4，6，5；{b_n}：7，2，3，1
（Ⅱ）不存在．
理由如下：
假设存在“15项相关数列”{a_n}，{b_n}，
则a₁-b₁=1，a₂-b₂=2，…，a₁₅-b₁₅=15，相加，得（a₁+a₂+…+a₁₅）-（b₁+b₂+…+b₁₅）=120
又由已知a₁+a₂+…+a₁₅+b₁+b₂+…+b₁₅=1+2+…+30=465，由此2（a₁+a₂+…+a₁₅）=585，显然不可能，所以假设不成立．
从而不存在“15项相关数列”{a_n}，{b_n}
（Ⅲ）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”{a_n}，{b_n}，
令c_k=2n+1-b_k，d_k=2n+1-a_k（k=1，2，…，n），
先证{c_n}，{d_n}也必为“n项相关数列”．
因为c_k-d_k=（2n+1-b_k）-（2n+1-a_k）=a_k-b_k=k（k=1，2，…，n），
又因为{a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n}={1，2，3，4，…，2n}，很显然有{（2n+1）-a₁，（2n+1）-a₂，…，（2n+1）-a_n，（2n+1）-b₁，（2n+1）-b₂，…，（2n+1）-b_n}={1，2，3，…，2n}，
所以{c_n}，{d_n}也必为“n项相关数列”．
再证数列{c_n}与{a_n}是不同的数列．
假设{c_n}与{a_n}相同，则{c_n}的第二项c₂=2n+1-b₂=a₂，又a₂-b₂=2，则2b₂=2n-1，即b2＝

2n−1

2

，显然矛盾．
从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对．