题目

第一题：已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1 ,求f(x)
第二题：已知f(x+1）=x^2+2x,求f(x),
第三题：证明f(x)=x^2+1/x^2在[1,+∞）上是增函数
所以请尽量使用高一程度的计算方法,尽量详细易懂,

提问时间：2021-04-15

答案

第一题：已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1 ,求f(x)
【解】：设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=2,===>c=2
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-[ax^2+bx+c]=2ax+a+b=2ax+(a+b)=x-1
2ax+(a+b)=x-1
2a=1,===>a=1/2
a+b=-1,===>b=-3/2
所以：二次函数为f(x)=(1/2)x^2-(3/2)x+2
第二题：已知f(x+1）=x^2+2x,求f(x),
【解】：f(x+1)=x^2+2x=(x+1)^2-1
令x+1=t
f(t)=t^2-1
所以：f(x)=x^2-1
第三题：证明f(x)=x^2+1/x^2在[1,+∞）上是增函数
【解1】：设x^2=t
x^2+1/x^2=t+1/t
函数y=t+1/t是个高中常用的函数,其增区间为（-∞,-1）和（1,+∞）
【解2】：证明设1