题目

如图,已知过点A的直线AB；y=-2x+4和直线AC:y=½x-1,过原点O的抛物线的顶点为B（1,2）
（1）直线AC与y轴的交点C的坐标为------,∠CAB=-----
（2）求出抛物线的解析式
（3）点P（m,n）是抛物线上OB间的一点
①作PQ平行于y轴交直线AC于点Q,当线段PQ被x轴平分时,求出点P的坐标
②作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,四边形PMAN能否为正方形?若能,求出点P的坐标；若不能,请说明理由
我只是不会做（3）②，回答这一小问就行了，图片差不进去，不过图可以画出来，我再提高一点分

提问时间：2021-04-15

答案

（3）②正确答案应该是存在唯一一个这样的P点.
思路给你点一下（关键是公式不好输入）.
首先（2）求出抛物线的解析式为：y=-2(x-1)^2+2.
因为第（1）问中求出∠CAB=90度,所以AC⊥AB,
又因为PM⊥AB,PN⊥AC,所以四边形PMAN为一个矩形,
若想要PMAN为正方形,只要保证PMAN有2个临边相等就可以了.
下面证明PMAN有2个临边相等.
需要用到点到直线的距离公式（课本上应该有这个公式）：
点（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=(Ax0+By0+C)的绝对值/根号下（A^2+B^2).
不妨我们证明PM=PN,P点已知为（m,n）,
代入距离公式最终整理得到：(2m+n-4)的绝对值=(m-2n-2)的绝对值
解绝对值方程得到只有一个点P（1/6,11/18）满足条件,（其余三个点都舍掉了）.
还有一点需要提醒你第（2）中求出的抛物线有2条,还有一条是x=(-1/4)(y-2)^2+1,解法类似.