题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．求证：

（1）B₁D⊥平面A₁C₁B；
（2）B₁D与平面A₁C₁B的交点设为H，则点H是△A₁C₁B的重心．

提问时间：2021-04-14

答案

证明：（1）连B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，因此A1C1⊥B1D．同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B．（6分）（2）连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H...

（1）连B₁D₁，要B₁D⊥平面A₁C₁B，只需证明直线B₁D垂直平面A₁C₁B内的，两条相交直线A₁C₁、A₁B即可；
（2）B₁D与平面A₁C₁B的交点设为H，连A₁H，BH，C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，因此点H为△A₁BC₁的外心，类比推出，点H是△A₁C₁B的垂心．

本题考点：直线与平面垂直的判定；三角形五心．

考点点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．