题目

(1)在三角形ABC中,若A+B=120度,则求证:a/(b+c) + b/(a+c) =1
(2)三角形ABC中,若sinB=sinA*cosC,且三角形ABC最大边长为12,最小角的正弦为1/3,①判断三角形ABC的形状,②求三角形ABC的面积.
最好有一定的推导过程.

提问时间：2021-04-14

答案

1.证明：
[a/(b+c)]+[b/(a+c)]
=(a²+ac+b²+bc)/[(a+c)(b+c)]
=(a²+b²+ac+bc)/(ab+bc+ac+c²)……☆
∵A+B=120°
∴C=60°
∴cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=cos60°=1/2
∴a²+b²-c²=ab
即a²+b²＝c²+ab
代入☆式,即得
[a/(b+c)]+[b/(a+c)]
=(c²+ab+ac+bc)/(ab+bc+ac+c²)
=1
2.sinB=sin(180-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
所以sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC,所以cosAsinC=0,
若cosA=0,则A=90,若sinC=0,则C=0不可能,所以只能cosA=0,即A=90
所以为直角三角形
A为直角,所以a最大,即a=12,又因为最小角正弦为1/3,所以一条直角边为12*1/3=4
另一条直角边为8√2,所以S=(1/2)×8√2×4=16√2