题目

已知sint+cost=1，设s=cost+isint，求f（s）=1+s+s²+…sⁿ．

提问时间：2021-04-13

答案

sint+cost=1
∴（sint+cost）²=1+2sint•cost=1
∴2sint•cost=sin2t=0
则cost=0，sint=1或cost=1，sint=0，
当cost=0，sint=1时，s=cost+isint=i
则f（s）=1+s+s²+…sⁿ=

1+i，n＝4k+1 i，n＝4k+2 0，n＝4k+3 1，n＝4(k+1)

(k∈N+)
当cost=1，sint=0时，s=cost+isint=1
则f（s）=1+s+s²+…sⁿ=n+1

本题考查的知识点是复数的运算，所要用到的数学思想是分类讨论思想，由sint+cost=1，我们易得：cost=0，sint=1或cost=1，sint=0，然后分类讨论两种情况，最后对各种进行总结，即可得到答案．

本题考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．

考点点评：本题中第一情况主要考查了复数单位i的运算，要注意：in＝

i，n＝4k+1 −1，n＝4k+2 −i，n＝4k+3 1，n＝4(k+1)

(k∈N+)