题目

已知等比数列{a_n}中，a₂=1，则其前三项和S₃的取值范围是______．

提问时间：2021-04-11

答案

由等比数列的性质可知：a₂²=a₁a₃=1，
当公比q＞0时，得到a₁＞0，a₃＞0，
则a₁+a₃≥2

a1a3

=2

1

=2，所以S₃=a₁+a₂+a₃=1+a₁+a₃≥1+2=3；
当公比q＜0时，得到a₁＜0，a₃＜0，
则（-a₁）+（-a₃）≥2

(−a1)(−a3)

=2

1

=2，即a₁+a₃≤-2，所以S₃=a₁+a₂+a₃=1+a₁+a₃≤1+（-2）=-1，
所以其前三项和s₃的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）

根据等比数列的性质和第2项等于1，得到第1项与第3项的积为1，然后分两种情况：当公比q大于0时，得到第1项和第3项都大于0，然后利用基本不等式即可求出第1项和第3项之和的最小值，即可得到前3项之和的范围；当公比q小于0时，得到第1项和第3项的相反数大于0，利用基本不等式即可求出第1项和第3项相反数之和的最小值即为第1项和第3项之和的最大值，即可得到前3项之和的范围，然后求出两范围的并集即可．

本题考点：等比数列的前n项和．

考点点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．