题目
以抛物线x2=8y上的一点M为圆心作圆M,如果圆M经过抛物线的顶点和焦点,那么圆M的半径等于( )
A.
B. 2
C.
D. 3
A.
1 |
2 |
B. 2
C.
5 |
2 |
D. 3
提问时间:2021-04-11
答案
由抛物线的方程得到:抛物线的顶点O坐标为(0,0),焦点P坐标为(0,2),
根据题意画出图形,如图所示:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3c6d55fbb2fb4316ab8021cd23a4462308f7d3ee.jpg)
过M作MB⊥y轴,MA⊥x轴,连接MP,由|OP|=2,
根据垂径定理得到B为OP中点,所以|OB|=
|OP|=1,故MA=1,即M的纵坐标为1,
把y=1代入抛物线方程得:x=2
或-2
,
所以M坐标为(2
,1)或(-2
,1),
则圆M的半径|PM|=
=3.
故选D
根据题意画出图形,如图所示:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3c6d55fbb2fb4316ab8021cd23a4462308f7d3ee.jpg)
过M作MB⊥y轴,MA⊥x轴,连接MP,由|OP|=2,
根据垂径定理得到B为OP中点,所以|OB|=
1 |
2 |
把y=1代入抛物线方程得:x=2
2 |
2 |
所以M坐标为(2
2 |
2 |
则圆M的半径|PM|=
(±2
|
故选D
由抛物线的解析式找出抛物线的顶点O及焦点坐标P,进而得到|OP|,过M作MB垂直于y轴,MA垂直于x轴,根据垂径定理得到MA与BO相等,都等于|OP|的一半,从而得到M的纵坐标,把M的纵坐标代入抛物线方程求出横坐标,确定出M的坐标,然后利用两点间的距离公式求出|PM|,即为圆的半径.
圆的标准方程;抛物线的简单性质.
此题考查了圆的标准方程,及抛物线的简单性质.利用数形结合的思想,根据垂径定理得出|MA|,即M的纵坐标是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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