题目

如图，已知A（-3，0），B（0，-4）．点P为双曲线y＝

k

x

(x＞0，k＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．
（1）当四边形ABCD为菱形时，求双曲线的解析式；
（2）若点p为直线y＝

3

4

x与（1）所求的双曲线的交点，试判定此时四边形ABCD的形状，并加以证明．

提问时间：2021-04-11

答案

（1）解法一：∵四边形ABCD为菱形，∴OA=OC，OB=OD（1分）可得点p的坐标为P（3，4）（3分）∴k=12，即双曲线的解析式为y＝12x(x＞0，k＞0)（5分）解法二：由勾股定理可求得菱形的边长为5，所以求得点C、点D的坐标C（...

（1）当四边形ABCD为菱形时，由菱形的轴对称性可求C、D两点坐标，又PC⊥x轴，PD⊥y轴，则P、C两点横坐标相等，P、D两点纵坐标相等，可求P点坐标，确定双曲线解析式；
（2）联立直线与双曲线解析式，求P点坐标，可判断△OAD，△OBC为等腰直角三角形，从而确定四边形ABCD的形状．

本题考点：反比例函数综合题．

考点点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过坐标系里图形的轴对称性，特殊三角形的性质，求点的坐标，确定双曲线的解析式．