题目

已知在⊙O中，C，D是直径AB上的点，AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在圆O上，求证：

AM

=

BN

．

提问时间：2021-04-11

答案

证明：如图：
，
∵AC=BD，O是圆心，
∴OC=OD．
MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠ACM=∠NDB=90°．
在Rt△OCM和Rt△ODN中，

OM＝ON OC＝OD

，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴MC=ND．
在Rt△ACM和Rt△BDN中，

AC＝BD ∠ACM＝∠BDN MC＝ND

，
∴Rt△ACM≌Rt△BDN（SAS），
∴AM=BN，

AM

＝

BN

．

根据全等三角形的判定与性质，可得CM与DN的关系，根据SAS，可得Rt△ACM和Rt△BDN的关系，根据全等三角形的性质，可得AM与DN的关系，在同圆或等圆中，根据等弦所对的弧相等，可得答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中等弦所对的弧相等．