题目

如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂…，按此规律继续下去，可得到△A₅B₅C₅，则其面积为S₅=______．第n次操作得到△A_nB_nC_n，则△A_nB_nC_n的面积S_n=______．
提问时间：2021-04-10

答案

连接A₁C；
S_△AA1C=3S_△ABC=3，
S_△AA1C1=2S_△AA1C=6，
所以S_△A1B1C1=6×3+1=19；
同理得S_△A2B2C2=19×19=361；
S_△A3B3C3=361×19=6859，
S_△A4B4C4=6859×19=130321，
S_△A5B5C5=130321×19=2476099，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△A_nB_nC_n，
则其面积S_n=19ⁿ•S₁=19ⁿ
故答案是：2476099；19ⁿ．