题目

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC中点.
（1）求证：B1C平行于平面A1BD
（2）若AC1垂直于平面A1BD,求证：B1C1垂直于平面ABB1A1

提问时间：2021-04-10

答案

1.取A1C1中点D1,连接DD1,D1C
由直棱柱性质知：四边形ACC1A1为矩形,由于D1,D分别为A1C1,AC中点,易证A1D‖CD1,且有DD1‖AA1,DD1=AA1
还可由直棱柱性质知：BB1‖AA1,BB1=AA1
∴BB1‖DD1,BB1=DD1
∴BB1D1D为平行四边形,有B1D1‖BD
结合B1D1‖BD,A1D‖CD1
B1D1,CD1是面B1D1C中的两条相交直线,而BD,A1D是面A1BD上的两条相交直线,它们互相平行,∴面B1D1C‖面A1BD
而B1C是面B1D1C上的直线
∴B1C‖面A1BD
2.∵AC1⊥面A1BD
∴AC1⊥A1D
在直三棱柱中,易得BB1=AA1,∠AA1C=90°,AC=A1C1
结合AC1⊥A1D
易证明△AA1C1∽A1AD
故AA1/AD=A1C1/AA1
<=>AA1^=AD*A1C1=AD*AC ①
∵D为AC中点
∴AD=AC/2
代入①,可得：
AA1^=AC^/2
<=>AA1=√2AC/2
而已知：AB=BC=BB1
∴AA1=BB1=AB=BC=√2AC/2
<=>AC^=AB^+BC^
<=>∠ABC=90°
即AB⊥BC
由直三棱柱性质知：BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥BC
∴BC⊥面ABB1A1
∴B1C1⊥面ABB1A1
<=>AB=BC