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题目
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC⊥BD于P点,点A在y轴上,点C、D在x轴上.

(1)若BC=10,A(0,8),求点D的坐标;
(2)若BC=13
2
,AB+CD=34,求过B点的反比例函数的解析式;
(3)如图,在PD上有一点Q,连接CQ,过P作PE⊥CQ交CQ于S,交DC于E,在DC上取EF=DE,过F作FH⊥CQ交CQ于T,交PC于H,当Q在PD上运动时,(不与P、D重合),
PQ
PH
的值是否发生变化?若变化,求出变化范围;若不变,求出其值.

提问时间:2021-04-10

答案
(1)在等腰梯形ABCD中,AD=BC=10又∵A(0,8)∴OA=8∴OD=102−82=6∴D(-6,0)(2)作BH⊥DE于H,过B点作BE∥AC交x轴于点E,∵AB∥CE,BE∥AC,∴ABEC是平行四边形,∴AB=CE,BE=AC,又∵ABCD为等腰梯形,∴AC=BD...
(1)根据等腰三角形的性质知:AD=BC,在Rt△AOD中,已知AD,OA的长,可将OD的长求出,从而可知点D的坐标;
(2)作辅助线,作BH⊥DE于H,过B点作BE∥AC交x轴于点E,则四边形ABEC为平行四边形,AB=CE,BE=AC,由AC⊥BD,可得:BD⊥BE,故在Rt△BDE中,由斜边DE的长可知:BH的长,在Rt△BHC中,运用勾股定理可将CH的长求出,进而可将OH的长求出,知点B的坐标,从而可求出求过B点的反比例函数的解析式;
(3)作辅助线,过点D作DN∥PC交PE的延长线于点M,交HF的延长线于点N,过点M作MI∥EF交BN于点I,易证四边形EFIM和四边形MNHP是平行四边形,从而可证:△EDM≌△IMN,DM=MN,进而可证:△PDM≌△CPQ,DM=PQ=PH,故:
PQ
PH
=1,为定值.

等腰梯形的性质;根据实际问题列反比例函数关系式;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

本题综合考查等腰梯形的性质,反比例函数关系式的求法,全等三角形的判定和勾股定理等知识点的综合应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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