题目
已知函数f(x)=x3-x
(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程
(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a<b<f(a)
(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程
(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a<b<f(a)
提问时间:2021-04-10
答案
(1)求函数f(x)的导函数;f'(x)=3x2-1.
曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y-f(t)=f'(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3;
(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.
于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.
记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g'(t)=6t2-6at=6t(t-a).
当t变化时,g(t),g'(t)变化情况如下表:
由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;
当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=
,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;
当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=−
,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.
综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则
即-a<b<f(a).
曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y-f(t)=f'(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3;
(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.
于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.
记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g'(t)=6t2-6at=6t(t-a).
当t变化时,g(t),g'(t)变化情况如下表:
由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;
当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=
3a |
2 |
当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=−
a |
2 |
综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则
|
即-a<b<f(a).
(1)求出f′(x),根据切点为M(t,f(t)),得到切线的斜率为f'(t),所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可;
(2)设切线过点(a,b),则存在t使b=(3t2-1)a-2t3,于是过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线即为方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3at2+a+b,求出其导函数=0时t的值,利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g(t)的单调区间,利用g(t)的增减性得到g(t)的极值,根据极值分区间考虑方程g(t)=0有三个相异的实数根,得到极大值大于0,极小值小于0列出不等式,求出解集即可得证.
(2)设切线过点(a,b),则存在t使b=(3t2-1)a-2t3,于是过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线即为方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3at2+a+b,求出其导函数=0时t的值,利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g(t)的单调区间,利用g(t)的增减性得到g(t)的极值,根据极值分区间考虑方程g(t)=0有三个相异的实数根,得到极大值大于0,极小值小于0列出不等式,求出解集即可得证.
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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