题目

在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是（　　）
A. 1
B. 1或

−1+ 3

2

C. 1或

1+ 3

2

D.

−1+ 3

2

或

1+ 3

2

提问时间：2021-04-10

答案

①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE是正方形，
则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，
∴AB=

12+12

=

2

，
∴AP=

2

；
∴在直角△AEP中，（1+EC）²+EP²=AP²
∴（1+DP）²+DP²=（

2

）²，
解得，DP=

3 −1

2

；
②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-1）²+EP²=AP²，
∴（PD-1）²+PD²=（

2

）²，
解得，PD=

3 +1

2

；
故选D．

如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=

2

，又AB=AP；所以，在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离．

本题考点：勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．