题目

如图,点A在x轴上,点B在y轴上,直线BD平行于x轴,OA=OB=1,经过坐标原点O的直线l交线段AB于点C,过C作l的垂线,与BD相交于点P,现将直线l绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第二象限内,并记AC的长度为t,分析下图后,对下列问题进行探究：
（1）猜想OC与CP的数量关系,并验证.
（2）①设点P的坐标为（b,1）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标（直接写答案）
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提问时间：2021-04-09

答案

（1）△AOC和△BCP全等,则AO=BC=1,
又AB=2,
所以t=AB-BC=2-1；
（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线,交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC,
∴∠OCP=90°,
∵OA=OB=1,
∴∠OBA=45°,
∵TH∥OB,
∴∠BCH=45°,又∠CHB=90°,
∴△CHB为等腰直角三角形,
∴CH=BH,
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°,
∴四边形OBHT为矩形,∴OT=BH,
∴OT=CH,
∵∠TCO+∠PCH=90°,
∠CPH+∠PCH=90°,
∴∠TCO=∠CPH,
∵HB⊥x轴,TH∥OB,
∴∠CTO=∠THB=90°,TO=HC,∠TCO=∠CPH,
∴△OTC≌△CHP,
∴OC=CP；
（3）①b=1-2t；（0＜t＜2）
②t=0时,△PBC是等腰直角三角形,但点C与点A重合,不在第一象限,所以不符合,
PB=PC,则2-t=|1-2t|,
解得t=1或t=-1（舍去）,
∴当t=1时,△PBC为等腰三角形,
即P点坐标为：P（1,1-2）．