题目

2/1+3/2+5/3+8/5+13/8+21/13+34/21+55/34...用递归怎么写?

提问时间：2021-04-09

答案

分子为2,3,5,8,13.A1=2,A2=3,A(n+2)=An+A(n+1)
分母为1,2,3,5,8,.B1=1,B2=2,B(n+2)=Bn+B(n+1)
分式为C1=2/1,C2=3/2,C(n+2)=A(n+2)/B(n+1)
这个数列的各项的分子,分母都是斐波那契数列,简介如下:
1 1 2 3 5 8 13 21 34
以上是著名的裴波那契数列.其特点为 某一项 = 它的前2项之和.
其通项公式为
Fn = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5
证:
F(n+1)=Fn+F(n-1)(n≥2)
两边加kFn
Fn+1+kFn=(k+1)Fn+Fn-1
当k!=1时
Fn+1+kFn=(k+1)(Fn+1/(k+1)Fn-1)
令
Yn=Fn+1+kFn
若
当k=1/k+1,且F1=F2=1时
因为
Fn+1+kFn=1/k(Fn+kFn-1)
=>
Yn=1/kYn-1
所以
Yn为q=1/k=1(1/k+1)=k+1的等比数列
那么当F1=F2=1时
Y1=F2+kF1=1+k*1=k+1=q
根据等比数列的通项公式
Yn=Y1q^(n-1)=q^n=(k+1)^n
因为k=1/k+1=>k^2+k-1=0
解为 k1=(-1+sqrt(5))/2
k2=(-1-sqrt(5))/2
将k1,k2代入
Yn=(k+1)^n
,和Yn=Fn+1+kFn
得到
Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1+sqrt(5))/2)^2
Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1-sqrt(5))/2)^2
两式相减得
sqrt(5)Fn=((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2
Fn=(((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2)/sqrt(5)