题目

倾角为θ的光滑绝缘斜面,处在方向垂直斜面向上的匀强磁场和方向未知的匀强电场中,有一质量为m、带电量为-q的小球,恰可在斜面上做匀速圆周运动、其角速度为ω,那么,未知电场的最小场强的大小为?方向沿?解释下为什么

提问时间：2021-04-09

答案

物体受到四个力,重力,斜面的支持力,电场力,洛仑兹力.它能做圆周运动意味着,它受到的合外力就为洛仑兹力,也就是要让另外三个力平衡.于是这就变成了三力平衡问题（见图一）,
方法一：三力平衡的要求为任意两个力的合力与第三个力等大反向,根据力的平行四边形定则,支持力与电场力的合力（对角线）等于重力G（见图二）.为了讨论方便,我们平移电场力,在矢量三角形内讨论（见图三）（希望你还记得）.于是问题就变成了高一讨论的问题：当合力给定（F合=G）,一个分力的方向给定（支持力垂直于斜面）,另一个分力(电场力)的最小值可以取到多少?答案是,当另一个分力垂直于第一个分力时,这个分力最小（点到直线最短的距离就是垂线）,此时电场力垂直于支持力,即沿斜面向上.而且由三角形可以看出,F电=mgsin（theta）,
E=mgsin（theta）/q,方向沿斜面向下（因为是负电荷）.
方法二：用正交分解讨论该问题（见图四）.建立坐标轴,让支持力落在y轴上,分解重力和电场力.正交分解后,物体的平衡条件是x和y方向上的合力都为零.在这里只有电场力在x轴上的分力才可以平衡重力沿斜面的分力,而重力的分力是定值,等于mgsin（theta）,所以如果电场力不在x轴上,它永远也要比mgsin（theta）大（三角形的斜边总比直角边长）,即如果电场力在x轴上,也就是沿着斜面向上,取值最小.下面的讨论同方法一.