题目

高二不等式两题!
(x2 ：为x的2次方,（）2 为 （）内的2次方)
1.求证：(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
2.求证：[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2
第一题（X3+Y3）部分不会证；
第二题：是不是要分开证呢?
咱证出a、b为正数和负数（即同号）时,[(a+b)/2]2＝(a2+b2)/2
a、b异号时,[(a+b)/2]2＜(a2+b2)/2
请问这个思路正确么?分别写出2段 就可以总结：[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2
感谢fnxnmn 的回答
有个疑问：x³+y³≥2√(X³Y³) 如何证出的？是否同样适合 次数 更高的？

提问时间：2021-04-09

答案

1.求证：(x+y)(x²+y²)(x³+y³)≥8x³y³.
分情况,使用基本不等式证明.
①x、y都是正数时,
∵X+Y≥2√(XY ) ①
x²+y²≥2XY ②
x³+y³≥2√(X³Y³) ③
把①②③相乘,不等式可以得证.
②x、y都是负数时,
∵-X-Y≥2√((-X)(-Y) ) ①
x²+y²≥2XY ②
-x³-y³≥2√((-X³)(-Y³)) ③
把①②③相乘,不等式可以得证.
③x、y一正一负时,
x+y与x³+y³同号,x²+y²≥0,
(x+y)(x²+y²)(x³+y³) ≥0,8x³y³≤0,
不等式成立.
④当x,y其中之一为0时,不等式也成立.
2.[(a+b)/2]²≤(a²+b²)/2
不需要分情况讨论证明,直接做差就可以.
(a²+b²)/2- [(a+b)/2]²=[2(a²+b²)-(a+b)²]/4
=(a-b)²/4 ≥0,
所以原不等式成立.
x、y都是正数时,x³+y³≥2√(X³Y³)
这是利用了基本不等式a+b≥2√(ab).(令a=x³,b=y³即可得到)
令a=x^4,b=y^4亦可得到x^4+y^4≥2√(X^4Y^4)等等……