题目

设{a_n}是等差数列，从{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有（　　）
A. 90
B. 120
C. 180
D. 200

提问时间：2021-04-09

答案

选出的数列中 首相+末相=2×中间相
所以 首相+末相 定是偶数
因为a_n为等差，所以可以表示成a_n=d×n+c（关于n的一次函数）
首相+末相=d×（首相项数+末相项数）+2×c
所以（首相项数+末相项数）为偶数
也就是说首相项数与末相项数同奇同偶
于是20个数中10个为奇数，10个位偶数
先任意从10个奇数中取出2个排列，作为首末两项
这样可以选出 10×9 个数列
同理任意从10个偶数中取出2个排列，作为首末两项
这样也可以选出 10×9 个数列
所以总共可以有 10×9×2=180
故选C．