题目

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
（1）M中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；
（3）对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是 ___ ．

提问时间：2021-04-09

答案

由 直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），
可令  

x=cosθ y=2+sinθ

，
消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的
切线的集合，故（1）不正确．
因为对任意θ，存在定点（0，2）不在直线系M中的任意一条上，故（2）正确．
由于圆 x²+（y-2）²=1 的外切正n 边形，所有的边都在直线系M中，
故（3）正确．
M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中等边三角形ABC和 ADE面积不相等，故（4）不正确．
综上，正确的命题是 （2）、（3），
故答案为：（2）、（3）．

先弄清直线系M中直线的特征，直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，再判断各个结论的正确性．

本题考点：过两条直线交点的直线系方程．

考点点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．