题目

点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y^2=8x的两个点,已知y1y2=16,则直线AB一定恒过一个定点,该定点的坐标为___________.

提问时间：2021-04-09

答案

答：
① y1y2=16 ===> y1²y2²=16² ===>8x1 8x2=16² ===> x1*x2=4 .
② 设直线AB斜率是k,通过一点(x0,y0),则AB与抛物线的交点满足方程：
y = k(x - x0) + y0
y²=8x
[k(x -x0) + y0]² = 8x
kx² + ...x + (k²x0² + y0²-2kx0y0) = 0
kx² + ...x + (kx0 + y0)² = 0
x1*x2 = (kx0 + y0)²/k²
(kx0 + y0)²/k² = 4
kx0 + y0 = 2k
如果有这样的定点(x0,y0),必定对于任意k值,上式恒成立,所以上式对于k是恒等式：
kx0 + y0 ≡ 2k
x0 = 2
y0 = 0
综上可知：
直线AB一定恒过一个定点(2,0),就是抛物线的焦点.
--完--