题目

如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是（　　）
A.

3

2

a−

1

2

a
B.

3

2

a+

1

2

a
C.

6

2

a−

1

2

a
D.

6

2

a+

1

2

a

提问时间：2021-04-09

答案

由题意得：当OA=OB时，连接OC，可得OC最大，如图所示，
由对称性可得OC⊥AB，
∵△AOB为等腰直角三角形，AB=a，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

a，
在Rt△BCD中，BC=a，BD=

1

2

a，
根据勾股定理得：CD=

3

2

a，
则OC=OD+DC=

1

2

a+

3

2

a．
故选B．

由题意得到当OA=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形时，OC最大，画出相应的图形，连接OC，交AB与点D，由对称性得到OC垂直于AB，利用三线合一得到D为AB的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半表示出OD的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD的长，由OD+DC即可求出OC的长．

本题考点：直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．

考点点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．