题目

试证对于任何素数p>3,都有42|(3^p-2^p-1)
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提问时间：2021-04-09

答案

3^p-2^p-1显然是个偶数,能被2整除
又p为素数且>3,那P一定是奇数,
则另p=2n+1 (n>1且n至少是整数)
2^p+1=2^(2n+1)+1=2^(2n+1)-2+3=2[2^2n-1]+3=2(2^n +1)(2^n -1) +3
(2^n -1);2^n;(2^n +1)至少有一个能被3整除,且显然这个能被3整除的数不是2^n
所以2^p+1=2(2^n +1)(2^n -1) +3能被3整除
3^p-2^p-1=3^(2n+1) -2^(2n+1)-1=3*3^2n -2*2^2n -1
=3*9^n -2*4^n -1
又知9^n=（7+2）^n
（7+2）^n的展开式中,除2^n项外,每一项都有因子7
（7+2）^n除7的余数=2^n除7的余数
3*9^n -2*4^n -1除7的余数=3*2^n -2*4^n -1除7的余数
又3*2^n -2*4^n -1= -[2*2^(2n) -3*2^n +1]
= -(2^n -1)[2^(n+1) -1]
分类讨论
1.当n=3m+1 (m>0)时,P=6m+3能被3整除,不是质数
2.当n=3m-1 (m>0) 时,-(2^n -1)[2^(n+1) -1]= -[2^(3m-1) -1][2^(3m) -1]= -[2^(3m-1) -1][8^m -1]
又由上面知8^m=(7+1)^m除7的余数=1^m除7的余数,所以[8^m -1]能被7整除
即-(2^n -1)[2^(n+1) -1] 能被7整除,即3^p-2^p-1=3*9^n -2*4^n -1能被7整除
3.当n=3m (m>0) 时,-(2^n -1)[2^(n+1) -1] = -[2^(3m) -1][2^(3m+1) -1]= - [8^m -1][2^(3m+1) -1] 能被7整除
所以3^p-2^p-1能被7整除
综上p为>3的质数时3^p-2^p-1能被7整除
即3^p-2^p-1能被2*3*7=42整除