题目

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-3，0]，x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-04-09

答案

（ I）f'（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），①当a＜1时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，∴f（x）的增区间为（-∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；②当a=1时，f'（x）=6（x-1）...

（Ⅰ）求导数f'（x），令f'（x）=0，得极值点，按两极值点的大小关系分三种情况进行讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，从而可得|f（x₁）-f（x₂）|_max，进而问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，构造关于a的一次函数g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0 g(0)≤0

，解出即可；

本题考点：A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究函数的单调性

考点点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．