题目

f(x)=(a-2cosx)/3sinx在区间(0,π/2)内是单调增函数,求a的范围

提问时间：2021-04-09

答案

令0f(x2)-f(x1)=[a*(sinx1-sinx2)-2(cosx2*sinx1-cosx1*sinx2)]/ (3sinx1*sinx2)
=[a(sinx1-sinx2)-2sin(x1-x2)]/(3sinx1*sinx2)>0恒成立
(3sinx1*sinx2)>0
a<2sin(x1-x2)/(sinx1-sinx2)[注：sinx1-sinx2 < 0]
又因为
sinx1-sinx2=sin[(x1+x2)/2+(x1-x2)/2]-sin[(x1+x2)/2-(x1-x2)/2]
=sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
-sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
=2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
sin(x1-x2)=2sin[(x1-x2)/2]cos[(x1-x2)/2]
即
a<2cos[(x1-x2)/2]/cos[(x1+x2)/2]=2cos[(x2-x1)/2]/cos[(x1+x2)/2]