题目

关于反常积分的瑕点问题
举例说：f(x)=1/x,求该函数在区间【-1,1】内的积分.答：可以明显看出为0啊,因为对称性嘛.
不过高数书(同济五254页)上黑字部分的意思是：这是一个无界函数的反常积分,x=0是函数的瑕点,此为暇积分,∵∫1/xdx在(0,1)积分时,=ln1-ln0+,而ln0+=正无穷,故此反常积分发散!故在（-1,1）的积分不存在,或者叫积分发散. 是不是如果不考虑0这个瑕点,就会得出开始所说的错误的结果啊?
求解释.

提问时间：2021-04-08

答案

书说的是对的,你的理解有问题哦~
你认为这样有对称性的积分值为0,这有一个前提：积分是存在的(即收敛的).而这个积分是不收敛的瑕积分,所以不存在(不收敛).计算积分值的前提是积分存在!
直观上怎么理解呢?你说的“对称”的意思是(-1,0)与(0,1)两部分的积分正负抵消,这固然有道理,但注意这两部分每一部分的积分都是发散的!相当于a-a=0总是对的,但+∞-+∞等于0吗?不能这样说吧……
另外,flytian0103的解释是错误的.瑕积分这个概念本身就是为了处理函数在某点无定义的情形,所以不能仅从函数无定义断言瑕积分发散.比如f(x)=1/根号x,它在0点也没有定义,但它在-1~0和0~1的瑕积分都是收敛的!