题目

1、根据导数定义求：f(x)=cos x,求f’(x).
2、求指定点的切线方程和法线方程：（1）、y=1/x在点（1,1）（2）、y=x立方在点（2,8）
3、求函数的导数：（1）、y=（x立方-x）6次方；（2）、y=x平方sin(1/x);(3)、y=ln（x+√x平方+a平方）；（4）、y=arctan（1-x）
4、求函数的n阶导数：y=xe的x方
5、求微分：(1)、y=lnsin(x/2);(2)、y=e的-x方cos(3-x);(3)、y=arctan×(1+x)/(1-x);(4)、e的x/y方-xy=0.
6、求隐函数的导数y’：（1）、x立方+y立方-3xy=0；（2）、arctany/x=ln√x平方+y平方
说明：第3题中x平方+a平方都在根号里面的,第6题x平方+y平方都在根号里面的,就答案我是看不懂的,因为刚开始学.

提问时间：2021-04-08

答案

1.
f'(x) = lim(q->0)(f(x+q)-f(x))/q = -sinx
2.
(1) y' = -1/x^2,切线方程 y-1 = -(x-1)
(2) y' = 3x^2,切线方程 y-8 = 12(x-2)
3.
(1) y' = 6(x^3 - x)^5 * (3x^2 - 1)
(2) y' = -x^2 cos(1/x) (1/x^2) + 2xsin(1/x)
= 2xsin(1/x) - cos(1/x)
(3) y' = 1/(x+√(x^2+a^2)) * (1+1/(2√(x^2+a^2)))
= (2√(x^2+a^2)+1) / 2(x√(x^2+a^2)+(x^2+a^2))
(4) y' = 1/(1+(1-x)^2) * (-1)
= -1/(x^2-2x+2).
4.
y(n*') = (x+n)e^x
5.
(1) dy = csc(x/2)cos(x/2)/2 dx = cot(x/2)dx/2
(2) dy = (-e^(-x) cos(3-x) + e^(-x) sin(3-x))dx
(3) dy = ( 1/(1+x^2) * (1+x)/(1-x) + 2arctanx/(1-x)^2 )dx
= (1+x)(1-x)+2arctanx(1+x^2)/(1-x)^2(1+x^2) dx
(4)e^(x/y)(-xdy + ydx)/y^2)-ydx-xdy=0
6.
（1）、x立方+y立方-3xy=0；（2）、arctany/x=ln√x平方+y平方
(1) 3x^2dx + 3y^2dy - 3xdy - 3ydx = 0
(3x^2 - 3y)dx = - (3y^2 + 3x)dy
dy/dx = -(3x^2 - 3y)/(3y^2 + 3x).
(2) 1/(1+(y/x)^2)(xdy-ydx)/y^2 = 1/(√x^2+y^2) * 1/2 * (x^2+y^2)^(-1/2) * (2xdx + 2ydy)