题目

试求过圆x^2+y^2-2x-4y+1=0与直线x-3y+2=0的交点,且半径2根号2的圆的方程

提问时间：2021-04-08

答案

设圆方程为 (x-a)²+(y-b)²=8
将直线x-3y+2=0代入圆x^2+y^2-2x-4y+1=0,得
(3y-2)²+y²-2(3y-2)-4y+1=0,整理,得 10y²-22y+9=0
解得 y1=(11-√31)/10,y2=(11+√31)/10
代入直线x=3y-2,解得 x1=(13-3√31)/10,x2=(13+3√31)/10
将(x1,y1),(x2,y2)代入圆方程(x-a)²+(y-b)²=8,得
(x1-a)²+(y1-b)²=8,(1) (x2-a)²+(y2-b)²=8 (2)
(1)(2)两式相减,得 (x1-a)²-(x2-a)²+(y1-b)²-(y2-b)²=0
(x1-a-x2+a)(x1-a+x2-a)+(y1-b-y2+b)(y1-b+y2-b)=0
(x1-x2)(x1+x2-2a)+(y1-y2)(y1+y2-2b)=0
-3√31/5*(13/5-2a)-√31/5*(11/5-2b)=0
3(13/5-2a)+(11/5-2b)=0
39-30a+11-10b=0
3a+b=5 => b=5-3a
(1)(2)两式相加,得 (x1-a)²+(x2-a)²+(y1-b)²+(y2-b)²=16
(x1²+x2²)-2a(x1+x2)+2a²+(y1²+y2²)-2b(y1+y2)+2b²=16
(x1+x2)²-4x1x2-2a(x1+x2)+2a²+(y1+y2)²-4y1y2-2b(y1+y2)+2b²=16
x1+x2=13/5,x1x2=-11/10; y1+y2=11/5,y1y2=9/10
∴(13/5)²+4*11/10-2a*13/5+2a²+(11/5)²-4*9/10-2b*11/5+2b²=16
整理得 5(a²+b²)-(13a+11b)=9
将b=5-3a代入,可解得 a1=(13-√47)/10,a2=(13+√47)/10
b1=5-3a1=(11+√47)/10,b2=(11-√47)/10
∴所求圆方程为：(x-(13-√47)/10)²+(y-(11+√47)/10)²=8
或(x-(13+√47)/10)²+(y-(11-√47)/10)²=8
这是什么题啊,计算量忒大了点