题目
求微分方程y″+y=x+cosx的通解.
提问时间:2021-04-08
答案
微分方程y″+y=x+cosx对应的齐次微分方程为y''+y=0
特征方程为t2+1=0
解得t1=i,t2=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx
因此,微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x(csinx+dcosx)
y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y*,y*',y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到:
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有:
即
所以,非齐次微分方程的特解为y*=x+
xsinx
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以,微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+
xsinx.
特征方程为t2+1=0
解得t1=i,t2=-i
故齐次微分方程对应的通解y=C1cosx+C2sinx
因此,微分方程y″+y=x+cosx对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=ax+b+x(csinx+dcosx)
y*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
将y*,y*',y*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到:
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
则有:
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即
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所以,非齐次微分方程的特解为y*=x+
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由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以,微分方程y″+y=x+cosx的通解为y+y*=C1cosx+C2sinx+x+
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首先解齐次微分方程的通解;然后,再解非齐次微分方程的特解,最后将其相加即可得到非齐次微分方程的通解
求解微分方程
本题考查微分方程的求解.只需牢记非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解即可.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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