题目

已知函数f（x）=

3−ax

a−1

（a≠1）．若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-04-08

答案

f′（x）=

−a

2(a−1) 3−ax

；
若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f′（x）＜0；
即

−a

a−1

＜0，解得a＜0，或a＞1；
又3-ax≥0，即a≤

3

x

，在（0，1]上恒成立，

3

x

在（0，1]上的最小值是3，∴a≤3；
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，3]．
故答案为：（-∞，0）∪（1，3]．

求f′（x）=

−a

2(a−1) 3−ax

，根据f（x）在区间（0，1]上是减函数便得到f′（x）＜0，这样可求得a的一个范围，再根据3-ax≥0在（0，1]上恒成立可得到a≤3，所以和前一个a的范围求交集即可得到a的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，解分式不等式，不要漏了a还需满足3-ax≥0在（0，1]上恒成立．