题目

椭圆定点,向量积为定值的问题
过平面内一定点L（m,n）作一直线y=kx+b交椭圆X^2/A+Y^2/B=1于两点P,Q,那么在平面内是否有一点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值?该定值为多少?T点坐标多少?
补充：我认为存在这样一个点,因为当L在X轴上和Y轴上时这个结论都成立,而且我成功证明了,但是我不知道当L不在X、Y轴上该点是否存在.求大神证明,㊣好加分.

提问时间：2021-04-08

答案

郭敦顒回答：
不用把问题说得那么复杂,只需说平面内有两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
那么在平面内是否有一点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值d?
所说TP,TQ的向量积为标积（也叫点积）,按定义,
向量TP•向量TQ=TP×TQ×cosθ,θ为TP与TQ的夹角,
TP×TQ×cosθ=d为定值.
应有Rt⊿TPQ,∠TPQ=90°,斜边TQ=C,直角边TP=a,PQ=b,则
∠QTP=θ,cosθ=a/C
TP×TQ×cosθ= aC×a/C=a²,
∴a²=d,a=√d,C=√（a²+b²）,
∴在平面内存在点T（t,r）使得TP,TQ向量积为定值d,d的取值范围是（0,∞）,
但点T（t,r）非唯一,而是4点：A（t1,r1）,B（t2,r2）,C（t3,r3）,D（t4,r4）,
作PQ的垂线AB,CD,AB的中点为P,CD的中点为Q.点A、B、C、D的坐标值可求.