题目

一道高中数学文科题
已知sin(2a+b)=3sinb设tana=x,tanb=y,记y=f(x)
求f(x)的表达式
定义正数数列｛An｝A1=1/2,A(n+1)²=2Anf(An) (n∈N*)
证明：数列｛1/（An²）-2｝是等比数列
令Bn=1/(An²)-2,Sn为｛Bn｝的前项和,求使Sn＞31/8成立的最小n值.

提问时间：2021-04-08

答案

展开化简：sin2acosb+cos2asinb=3sinb,
两边同除cosb：tanb=sin2a/(3-cos2a)=2sinacosa/[3(sina^2+cosa^2)-(cosa^2-sina^2)]=sinacosa/(2sina^2+cosa^2),
上下同除cosa：tanb=tana/(2tana^2+1)
即：f(x)=x/(2x^2+1)-----(1)
证明：
由题意：
A(n+1)²=2An^2/(2An^2+1)
两边求倒数：1/An+1^2=1+0.5/An^2
有：1/An+1^2-2=1/2(1/An^2-2)
故：数列｛1/（An²）-2｝是等比数列,首项为3,公比为1/2.---（2）
由题意：
Sn=6*[1-(1/2)^n]>31/8,
(1/2)^n