题目

双曲线方程3x2-y2=3,求过定点（2,1）的弦的中点轨迹?

提问时间：2021-04-08

答案

设弦的中点为(x,y),则弦在双曲线上的两点的坐标可分别设为：
(x+a,y+b) 和 (x-a,y-b) （中点就可以这么设,当然这里a,b不是固定的常数,a,b实际上是随着弦的斜率的变化而变化的,但无论怎么变,只要有一个坐标是x+a,另一个就必然是x-a）
中点、两端点以及(2,1)共线,所以
(y - 1)/ (x-2) = (y+b - y + b) / (x+a - x + a) = b/a （1）
另外,将两端点坐标(x+a,y+b) 和 (x-a,y-b)代入双曲线方程,得到：
3(x+a)^2 - (y+b)^2 = 3；
3(x-a)^2 - (y-b)^2 = 3；
两式相减,得到：
3[ (x+a)^2-(x-a)^2 ] = (y+b)^2 - (y-b)^2
利用平方差公式,
3 * (2x) * 2a = (2y) * 2b
即 3x / y = b/a (2)
将（2）式代入（1）式,消去b/a,就得到(x,y)轨迹服从以下方程：
(y - 1)/ (x-2) = 3x / y （也是一条双曲线）.