题目

f(x)=2sin²x-cos²x+2sinxcosx-1的值域是什么

提问时间：2021-04-08

答案

要解这个题除了基本公式、知识外还需要预备以下公式及知识
cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x=2cos²x-1
由这2个公式变形可以得到
sin²x=0.5(1-cos2x) ① cos²x=0.5(1+cos2x) ②
y=acosx+bsinx,a、b∈R,这个函数要求值域周期怎么办?
把此函数式作这样的变形
y=√（a²+b²）{[a÷√（a²+b²）]cosx+[b÷√（a²+b²）]sinx}
这样还是没有改变它的值,现在可以令a÷√（a²+b²）=sinθ,那么刚好b÷√（a²+b²）=cosθ
那么这个函数可以写为
y=√（a²+b²）sin（θ+x） ③
这样就知道了函数y=acosx+bsinx的一切信息
现在可以回来讨论你提问的问题了
f(x)=2sin²x-cos²x+2sinxcosx-1
在这个函数式中,2sinxcoax=sin2x,再将我上面预备的公式①、②代入并整理可以得
f（x）=-1.5cos2x+sin2x-0.5
可以看到原函数是y=acosx+bsinx,a、b∈R,这个类型的,其中a=-1.5,b=1,那么运用我前面提出的公式③,就可以得到
f(x)=0.5√13sin(x+θ)-0.5,其中插入的θ是一个角度实数,满足tanθ=-1.5/1=-1.5
所以原题可以知道答案
f(x)=2sin²x-cos²x+2sinxcosx-1=0.5√13sin(x+θ)-0.5,
值域是
f(x)∈[-0.5(√13+1),0.5(√13-1)