题目

已知α,β为锐角.sin²α+sin²β=sin(α+β) 求证α+β=π/2

提问时间：2021-04-07

答案

证明：因为 (sin α)^2 +(sin β)^2 =sin (α +β)
=sin α cos β +cos α sin β,
所以 sin α (sin α -cos β) +sin β (sin β -cos α) =0.(*)
又因为 α,β 为锐角,
所以 sin α >0,sin β >0.
(1) 假设 α+β >π/2,
则 α >π/2 -β,
β >π/2 -α.
又因为 α,β,π/2 -α,π/2 -β 为锐角,
所以 sin α >sin (π/2 -β) =cos β,
sin β >sin (π/2 -α) =cos α.
所以 sin α -cos β >0,
sin β -cos α >0.
所以 sin α (sin α -cos β) +sin β (sin β -cos α) >0.
与 (*) 矛盾.
所以 假设不成立,
即 α+β ≤π/2.
(2) 假设 α+β