题目
如图,已知A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=8/x图像上一点,当点P在什么位置时,三角形PAB面积最小?并求出此时点P的坐标
提问时间:2021-04-07
答案
∵A、B是定点,∴要使S(△PAB)最小,就需要点P到AB的距离最小.
∵A、B分别在y轴、x轴的正半轴上,又y=8/x在第一、三象限上,且以两坐标轴对称,
∴点P必须在第一象限上.
作直线AB的平行线与y=8/x相切,切点就是点P,否则点P到AB的距离就不是最小的.
显然,AB的斜率=(0-2)/(1-0)=-2,
∴可设过点P且与AB平行的直线为y=-2x+m,其中m>0.
联立:y=-2x+m、y=8/x,消去y,得:-2x+m=8/x,∴-2x^2+mx=8,
∴2x^2-mx+8=0.
∵直线y=-2x+m与y=8/x相切,∴方程2x^2-mx+8=0有重根.
令点P的坐标为(k,8/k).
∵点P在第一象限上,∴k>0.
∵k是方程2x^2-mx+8=0的重根,∴由韦达定理,有:k^2=8/2=4,∴k=2,∴8/k=4.
∴点P的坐标是(2,4).
∵A、B分别在y轴、x轴的正半轴上,又y=8/x在第一、三象限上,且以两坐标轴对称,
∴点P必须在第一象限上.
作直线AB的平行线与y=8/x相切,切点就是点P,否则点P到AB的距离就不是最小的.
显然,AB的斜率=(0-2)/(1-0)=-2,
∴可设过点P且与AB平行的直线为y=-2x+m,其中m>0.
联立:y=-2x+m、y=8/x,消去y,得:-2x+m=8/x,∴-2x^2+mx=8,
∴2x^2-mx+8=0.
∵直线y=-2x+m与y=8/x相切,∴方程2x^2-mx+8=0有重根.
令点P的坐标为(k,8/k).
∵点P在第一象限上,∴k>0.
∵k是方程2x^2-mx+8=0的重根,∴由韦达定理,有:k^2=8/2=4,∴k=2,∴8/k=4.
∴点P的坐标是(2,4).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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