题目

如图，矩形木板ABCD中，长AB=a米，宽BC=b米，要从矩形木板ABCD上裁下两个相同的半圆面，有如下两种裁法；如图①，点O₁、O₂在AC上，⊙O₁与⊙O₂分别与矩形ABCD两边相切；如图②，点O₁，O₂分别在AB，CD上，⊙O₁与⊙O₂相切，⊙O₁，⊙O₂分别与AD，BC相切．

（1）求图①中半圆的半径r的长（用a，b的代数式表示）；
（2）求图②中半圆的半径R的长（用a，b的代数式表示）；
（3）如果用长2米，宽1米和长3米，宽1米的两块矩形木板各做一个圆桌面，每块木板都有上述两种裁法．请问，对这两块木板分别应当采用哪一种裁法，做出的圆桌面较大．

提问时间：2021-04-07

答案

（1）连接O₁E，O₁F，则四边形DEO₁F是正方形，设圆的半径是r，则O₁E=O₁F=r．
∵O₁F∥AD，
∴

O1E

AD

=

O1C

AC

，即

r

AD

=

O1C

AC

，
同理，

r

CD

=

AO1

AC

，
两式相加得：

r

AD

+

r

CD

=1，即

r

b

+

r

a

=1，解得：r=

ab

a+b

；
（2）连接O₁O₂，作O₂F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O₂C=BF=R，
在直角△O₁O₂F中，O₁O₂²=O₂F²+O₁F²，则（2R）²=b²+（a-2R）²，
解得：R=

a2+b2

4a

；
（3）当长2米，宽1米时，利用第一种作法，半径是：

ab

a+b

=

2×1

2+1

=

2

3

米，利用第二种所得半径是：

22+12

2×2

=

5

4

米，
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大；
长3米，宽1米，利用第一种作法，半径是：

ab

a+b

=

3×1

3+1

=

3

4

米，利用第二种所得半径是：

32+12

2×3

=

5

3

米．
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大．