题目

三角形ABC中,B（-2,0）C（2,0）,顶点A在抛物线y=x^2+1上移动,点D是中点,动点P分AD的比为2:1,求P点
三角形ABC中,B（-2,0）C（2,0）,顶点A在抛物线y=x^2+1上移动,点D是AD中点,动点P分AD的比为2:1,求P点的轨迹方程

提问时间：2021-04-07

答案

三角形ABC中,B（-2,0）C（2,0）,顶点A在抛物线y=x^2+1上移动,点D是AD中点,动点P分AD的比为2:1,求P点的轨迹方程
题中,点D应是AB中点
解析：设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
∵点D是AB中点,AD/DB=1
又AP/PD=2,∴AP/PB=1/2
设λ=1/2
∴x=(x1+λx2)/(1+λ)==>x1=x(1+λ)-λx2=x(3/2)+1
y=(y1+λy2)/(1+λ)==>y1=y(1+λ)-λy2==y(3/2)
又顶点A在抛物线y=x^2+1上移动,B(-2,0)
y(3/2)=[x(3/2)+1]^2+1=9/4x^2+3x+2
y=3/2x^2+2x+4/3
∴P点的轨迹方程为y=3/2x^2+2x+4/3
若点D是AC中点,可参照上述方法可求
若点D是BC中点
解析：设P(x,y),A(x1,y1),D(x2,y2)
∵点D是BC中点,D(0,0)
又AP/PD=2设λ=2
∴x=(x1+λx2)/(1+λ)==>x1=x(1+λ)-λx2=3x
y=(y1+λy2)/(1+λ)==>y1=y(1+λ)-λy2==3y
又顶点A在抛物线y=x^2+1上移动
3y=(3x)^2+1=9x^2+1
y=3x^2+1/3
∴P点的轨迹方程为y=3x^2+1/3