题目

过三角形ABC的重心作一直线分别交AB,AC于点D,E.
若向量AD=xAB,向量AE=yAC（xy不等于0）,试求1/x+1/y的值.（以上AD、AB、AE、AC都是向量）

提问时间：2021-04-07

答案

以A为原点,AB为横轴,建立坐标系.
设B、C的坐标分别为（m,0）、（n,p）,已知A点坐标为（0,0）,
则三角形ABC的重心G的坐标为（(m+n)/3,p/3）.
由AD=xAB,AE=yAC,可知D、E的坐标分别为（xm,0）、（yn,yp）.
因为D、E、G三点同线,由直线DE和直线DG的斜率相等,可得方程：
yp / (yn-xm) = (p/3) / ((m+n)/3-xm),
化简后m、n、p均可消去,可以得到：
1/x+1/y = 3