题目

用数学归纳法证明（3n+1)*7^n-1(n属于正整数）能被9整除

提问时间：2021-04-07

答案

首先,n=1时,原式=27能被9整除.
设n=k时,原式能被9整除,即原式=(3k+1)*7^k-1=9m（m为整数）
当n=k+1时,原式=(3k+4)*7^(k+1)-1
=(3k+1)*7^(k+1)+3*7^(k+1)-1
=(9m+1)*7+3*7^(k+1)-1
=63m+3*[7^(k+1)+2]
=63m+3*[(6+1)^(k+1)+2]
显然,(6+1)^(k+1)进行二项式展开只有1^(k+1)这项不能被3整除,因此(6+1)^(k+1)除3余1,故(6+1)^(k+1)+2可以被3整除,所以当n=k+1原式可以被9整除.
所以当n为正整数时,结论成立.