题目

若x+y+z=30，3x+y-z=50，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围．

提问时间：2021-04-07

答案

x+y+z＝30        ① 3x+y−z＝50        ②

，
由①+②得  4x+2y=80，y=40-2x   ③，
把③代入①得  z=x-10   ④，
所以：M=5x+4（40-2x）+2（x-10）=-x+140，即x=140-M   ⑤，
分别将⑤代入③④，

x＝140−M≥0 y＝2M−240≥0 z＝130−M≥0

，
解得

M≤140 M≥120 M≤130

，
所以120≤M≤130．
答：M的取值范围为120≤M≤130．

首先根据题目中的方程组成三元一次方程组

x+y+z＝30 3x+y−z＝50

．分别求得y、z用x表示的关系式，将y、z关系式代入M=5x+4y+2z，即得x用M表示的关系式，且x为非负数，求得M的取值范围，同理求得y、z用M表示的关系式，根据y、z为非负数，求得M的取值范围．找出M的公共区间，即为所求取值区间范围．

本题考点：三元一次方程组的应用．

考点点评：解决本题的关键是根据题目方程组，求得用M表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得M的取值范围．