题目

已知00,a^b=b^a,求证a=b
限时在2点以前.

提问时间：2021-04-07

答案

不知道这是几年级的题,估且一答.
a^b=b^a,两边同时取对数则b*lna=a*lnb,整理得lna/a=lnb/b
于是可设函数f(x)=lnx/x,其导数f'(x)=(1-lnx)/x^2
当00,于是f(x)在区间[0,1]上是单调增函数,又f(1)=0,0若b>=1,则由式子本身可以看到f(b)>=0,从而f(a)不能等于f(b),于是b<1,即0又f(x)在[0,1]上单调,要想f(a)=f(b),则只有a=b.
嗯,有错的地主楼主请自行纠正.