题目

.已知双曲线a平方分之x平方-b平方分之y平方=1（a＞0,b大于0）,过其右焦点F且与渐近线y=-a分之bx平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A、B两点,且向量FA=向量AB,则双曲线的离心率为（）
A 2分之3 B 更号2 C 更号3 D 2

提问时间：2021-04-07

答案

答案是B
由题意知过F点的直线方程为：y=-b/a(x-c)
该方程与双曲线方程联立,得出x=（a^2+c^2)/2c,即为A点的横坐标为（a^2+c^2)/2c
有题意可知双曲线的另一条渐近线方程为：y=bx/a
将直线的方程y=-b/a(x-c)与渐近线方程y=bx/a联立,得出x=c/2,即为b点的横坐标为c/2
又知且向量FA=向量AB,由此得出
c-（a^2+c^2)/2c=（a^2+c^2)/2c - c/2
3c/2=(a^2+c^2）/c
1/2=a^2/c^2
既c/a=根号2 （a^2表示a的平方）