题目

直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，若△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为 ___ ．

提问时间：2021-04-06

答案

∵△AOB是直角三角形且是等腰三角形，
∴∠AOB=90°，圆心到直线ax+by=1的距离等于

2

2

，即

|0+0-1|

a2+b2

=

2

2

，
∴a²+b²=2，满足条件的点P（a，b）在以原点为圆心，以

2

为半径的圆上．
点（2，2）到原点的距离等于2

2

，
故点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为2

2

减去半径

2

，等于

2

，
故答案为

2

．

根据△AOB是直角边长等于1的等腰直角三角形，可得圆心到直线ax+by=1的距离等于

2

2

，得到 a²+b²=2，点P（a，b）在以原点为圆心，以

2

为半径的圆上，距离的最小值为点（2，2）到原点的距离减去半径

2

．

本题考点：直线与圆相交的性质．

考点点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用．